Formulace prvků

Co jednotlivé typy prvků ve skutečnosti jsou. Pokud vás nějaký výsledek překvapí, vysvětlení bývá tady.

Příhradový prut

Nejjednodušší prvek: dva uzly, jen osová síla.

Bez rotačních stupňů volnosti nemůže prut vytvořit mechanismus z uvolněných momentů. Skutečný pás příhradoviny má proto být prut typu Příhrada, ne nosník s klouby na obou koncích.

Nosník

Dva uzly, šest stupňů volnosti v každém: osový, dva smykové, kroucení a dva ohybové.

Kubická interpolace je důvod, proč nosník v lineární statice nepotřebuje síťování. Kubika je přesný ohybový tvar prizmatického prutu zatíženého jen na koncích ($EI{w}^{\prime \prime \prime \prime }=0$). Při zatížení po délce přesná není, uzlové posuny ale ano, protože zatížení vstupuje ekvivalentními uzlovými silami. Síly mezi uzly se pak dopočítají z koncových sil a zatížení prutu podmínkami rovnováhy, ne z kubiky. Dělení takového nosníku mění jen to, kde se výsledky vypisují, ne jaké jsou.

To platí jen pro pružnou matici tuhosti. Geometrická matice tuhosti, na níž stojí stabilitní výpočet, a konzistentní matice hmotnosti, na níž stojí modální analýza, používají tytéž kubické funkce, ale pro tyto úlohy je kubika jen aproximací, takže obě s dělením konvergují, místo aby daly přesnou odpověď rovnou. Kloubově uložený sloup modelovaný jedním prvkem ztrácí stabilitu při

tedy zhruba o 22 % výš. Dva prvky na prut to dostanou pod 1 %, čtyři pod 0,1 %.

Vlastní tvary mají stejné omezení: prut bez vnitřního uzlu nedokáže vyjádřit tvar, který vnitřní uzel má, takže vyšší tvary potřebují na prut aspoň tolik prvků, kolik má tvar půlvln. Dělení prutů má proto globální cíl a přepis na jednotlivém prutu jako každé jiné nastavení sítě a modální analýza k tomu navíc vynucuje minimum.

Smyková deformace

Štíhlé pruty se chovají podle Eulerovy–Bernoulliho teorie: průřezy zůstávají rovinné a kolmé k ose a smyková deformace se zanedbává. U masivních prutů (poměr rozpětí k výšce pod zhruba 10) smyková deformace zanedbatelná není a Timošenkova teorie, která ji zahrnuje, dává znatelně větší průhyby. Řídí to smykové plochy průřezu.

Co nosník nedokáže vystihnout

• Distorzi průřezu ani lokální boulení. Lokální boulení průřezu třídy 4 řeší posudek oceli efektivním průřezem; distorzi neřeší nic.
• Bránění deplanaci, pokud není modelováno výslovně.
• Neprizmatické chování uvnitř jednoho prvku; prut s náběhem je třeba rozdělit.

Skořepina

Jeden prvek pokrývá všechny plochy v modelu: desky, základové desky, stěny, jádra, stěnové nosníky a skořepiny. Přenáší ohyb z roviny a membránové působení v rovině společně, takže stěna napojená na desku je jedna souvislá síť, ne dvě formulace svázané vazbou.

Je to čtyřuzlový rovinný skořepinový prvek složený ze čtyř částí, z nichž každá je ta, na které se pro svůj úkol shodla odborná literatura:

Proč záleží na smíšené interpolaci

Čistě posunový Reissnerův–Mindlinův prvek se s klesající tloušťkou zamyká (shear locking): příčná smyková přetvoření odvozená z pole posunů nemohou být všude nulová, takže tenká deska vychází mnohem tužší, než je. MITC4 vzorkuje příčná smyková přetvoření na hranách prvku a interpoluje je zvlášť, čímž vazbu, která zamykání způsobuje, odstraní.

V praxi:

• Jeden prvek pro jakoukoli tloušťku. Tenká stropní deska a tlustá základová deska používají tutéž formulaci. Prvek nevybíráte podle poměru rozpětí k tloušťce.
• Žádná stabilizace k ladění. Redukovaná integrace je jiná oprava téhož problému. Zavádí falešné tvary s nulovou energií, které vyžadují kontrolu hourglassingu se součinitelem, jejž musí někdo zvolit. Tento prvek nepotřebuje ani jedno: jediný prvek má šest tvarů s nulovou energií, šest pohybů tuhého tělesa, a žádné další.
• Zkreslená síť degraduje pozvolna. Prvek splňuje patch test v membráně i v ohybu, takže zkosené prvky kolem otvoru nebo vstupujícího rohu ztrácejí přesnost postupně.

Stěny a stěnové nosníky: membrána

Prostá bilineární membrána, se kterou se MITC4 obvykle kombinuje, se zamyká v ohybu ve své rovině. Když se čtyřuzlový prvek ohýbá ve vlastní rovině, vzniká v něm parazitní smykové přetvoření, takže stěna, stěnový nosník nebo stojina komorového nosníku modelovaná skořepinami vychází mnohem tužší, než je, pokud není po výšce rozdělena na mnoho prvků: konzolová stěna s jediným prvkem po výšce dosáhne asi 68 % skutečného průhybu konce.

Membrána je zde obohacena o čtyři rozšířené tvary přetvoření, kondenzované uvnitř každého prvku, které toto parazitní smykové přetvoření pohltí. Tatáž stěna s jediným prvkem po výšce dosáhne 99 %. Rozšířené tvary přesně reprodukují každý rovnoměrný stav přetvoření, takže patch test dál platí, a vstupují do napětí a vnitřních sil, které čtete, nejen do tuhosti.

Rotace kolem normály (drilling)

Prvek má rotační stupeň volnosti ${\theta }_z$ kolem normály plochy (drilling), takže má v každém uzlu všech šest stupňů volnosti.

Na tom záleží tam, kde se nosník napojuje do stěny. Membránový prvek bez tohoto stupně volnosti nemá čím vzdorovat momentu v rovině, který nosník do uzlu přináší. Přípoj se pak chová jako kloub, ať jste ho tak zamýšleli nebo ne, a moment zmizí v přerozdělení, o které jste nežádali. Tady se přenese: nosník uložený na stěnu jádra je s ní spojitý, dokud ho záměrně neuvolníte.

Tuhost této rotace není pružina do podpory. Podle Hughese a Brezziho je rotace ${\theta }_z$ vázána na rotaci, kterou vykonává sama membrána,

penalizací $\frac{1}{2}\gamma t\int ({\theta }_z-\omega {)}^{2}dA$ s $\gamma =0,1G$. Penalizace je nulová pro každý pohyb tuhého tělesa, takže nikdy nebrání tuhému pootočení, a protože je zlomkem modulu pružnosti ve smyku, nezávisí na jednotkách, ve kterých je model zadán. Právě to umožňuje zakřivené skořepině fungovat: tam, kde se plošky stýkají pod úhlem, je rotace kolem normály jednoho prvku ohybovou rotací jeho souseda, a pružina na tom místě skořepinu několikanásobně vyztuží. Sevřená polokoule modelovaná s takovou pružinou může vyjít na třetině publikovaného průhybu, nebo na správné hodnotě, podle toho, v jakých jednotkách je model zadán; s touto formulací dosáhne publikované hodnoty v jakýchkoli jednotkách.

Zborcené prvky

Čtyřuzlový prvek na zakřivené nebo zkroucené ploše je málokdy rovinný: jeho rohy leží mimo jejich střední rovinu. Prvek je formulován v této střední rovině a pohyb každého uzlu se do ní přenáší jako tuhé odsazení, takže tuhé pootočení zborcený prvek nepřetváří. Bez této korekce se zkroucená skořepina zamyká: zkroucený nosník s pootočením 90° dosáhne v tlusté variantě 0,29 referenční hodnoty a v tenké téměř ničeho. S korekcí jsou obě varianty do 1,5 % a zjemňování sítě konverguje, místo aby se vzdalovalo.

Co skořepina nedokáže vystihnout

• Zakřivená geometrie se nahrazuje rovinnými ploškami, takže přesnost křivosti závisí na hustotě sítě jinak než u rovinné desky. Korekce zborcení brání zborcenému prvku v zamykání, zakřivenou plošku z něj ale neudělá: na zakřivených plochách sledujte zkroucení prvků.
• Ohyb v rovině na silně lichoběžníkových prvcích. Rozšířená membrána je přesná na obdélnících a blízko přesnosti na rovnoběžnících, ale každá čtyřuzlová membrána, která splňuje patch test, je na lichoběžníku tužší (MacNeal, 1987). Stěna s jediným prvkem po výšce ze silně nakloněných prvků dosáhne asi 80 % průhybu konce, proti 99 % na obdélnících. Proto generátor sítě drží prvky blízko čtverci.
• Průběh napětí po tloušťce nad rámec předpokládaného lineárního rozdělení.
• Lokální boulení samotné plochy. Desku žádný posudek nepokrývá; nejblíž je stabilitní výpočet skořepinového modelu.

Pružiny a tuhá ramena

• Pružiny přidávají tuhost mezi uzel a základ. Každý ze šesti směrů může být volný, tuhý nebo pružný, v globálních osách nebo v natočeném systému, který si definujete (šikmé ložisko, podpora na skloněné ploše).
• Liniové podpory jsou totéž rozprostřené podél čáry: tuhost na jednotku délky podél celého prutu nebo podél jedné hrany desky. Tuhé směry drží každý výpočtový uzel na čáře; pružné se soustředí do těchto uzlů podle příslušné délky, takže celková hodnota je liniová tuhost krát délka bez ohledu na to, jak jemně je čára nasíťována. To je Winklerův podklad pro základový trám, základový pas nebo stěnu pod deskou.
• Všechny jsou lineární v obou směrech: tahu vzdorují přesně stejně jako tlaku, což hraje roli při nadzvedávání. Podpory pouze tlačené ani pouze tažené nejsou k dispozici.
• Tuhá ramena stupně volnosti svazují, místo aby přidávala tuhost, takže nekazí podmíněnost matice tak, jak to dělá velmi tuhý prvek.

Integrace a dopočet výsledků

Matice prvků se integrují numericky v Gaussových bodech. Napětí a vnitřní síly jsou nejpřesnější v integračních bodech a pro zobrazení se přenášejí do rohů. Jakým způsobem, to je vaše volba, a cestuje s nastavením výpočtu: dvě metody dopočtu jsou dvě různá zpracování téhož řešení, takže patří k nastavení výpočtu, ne k modelu.

Hmotnost

Pro modální analýzu se hmotnost odvozuje z objemové hmotnosti materiálu a geometrie průřezu nebo tloušťky a rozděluje se buď konzistentně s interpolací prvku, nebo soustředěně na diagonálu. Konzistentní matice omezuje skutečné frekvence shora; soustředěná obvykle vychází pod nimi, zaručené to ale není. Výchozí je konzistentní, protože je při stejném počtu stupňů volnosti přesnější.

Nenosnou hmotu je nutné přidat záměrně: jako bodovou hmotu nebo moment setrvačnosti v uzlu, podél prutu, nebo výslovným převodem zatěžovacího stavu přes skupinu hmot. Nikdy se neodvozuje automaticky: síla a hmota, která by ji vyvolala, jsou dvě nezávislá tvrzení a hádat jedno z druhého znamená hádat o gravitaci.