Ověření řešiče

Úlohy s analytickým řešením, které za deset minut otestují řešič – nosníky, rámy, sloupy, desky a frekvence – s očekávanou chybou každé z nich.

Typy analýz 9 min čtení

Neberte to jako hotovou věc. Každý typ prvku v Elementariu je před každým sloučením kódu porovnán s analytickými řešeními, ale to je minimum na straně vývoje, ne váš důkaz. Jediný test řešiče, který pro vás něco znamená, je ten, který jste spustili sami, na úloze, jejíž výsledek předem znáte.

Každá úloha níže je tak malá, že ji postavíte za několik minut, a je u ní vzorec pro porovnání i velikost neshody, kterou lze čekat od diskretizace. Všechny úlohy s nosníky, rámy, sloupy a frekvencemi se vejdou do 500 stupňů volnosti tarifu Free; ze sítí desek se vejde 4 × 4, síť 8 × 8 je po podepření okrajů těsně pod limitem a 16 × 16 potřebuje studentský účet nebo tarif Pro. Stránka zároveň slouží jako průvodce tím, co který prvek předpokládá; formální verzi najdete ve Formulacích prvků.

Jak srovnávací úlohu provést

Postavte úlohu s kulatými čísly: $E = 210000 MPa$ , $L = 10 m$ , $w = 10 kN/m$ . Na kulatých číslech je chybný násobek tisíce vidět na první pohled.
Spočítejte a veličinu odečtěte z tabulky, ne z diagramu, abyste dostali všechny platné číslice.
Analytické řešení spočítejte ručně a porovnejte. Zapište si procentní rozdíl.
Je-li rozdíl větší, než tato stránka uvádí, zjemněte síť a opakujte, než cokoli uzavřete. Tabulky níže říkají, které úlohy jsou přesné a které konvergují.

Projekt si nechte. Sada srovnávacích úloh, kterou můžete spustit znovu po každém vydání, má větší cenu než jakékoli poznámky k vydání.

Pro úplnost: vlastní testovací sada řešiče spouští při každé změně kódu nosníkové úlohy uvedené níže – $5 w L^{4} /384 E I$ , $w L^{2} /8$ , $P L^{3} /3 E I$ , $P L$ , $P L /4$ , $N L / E A$ a $T L / G J$ , každou na devět desetinných míst – a řešič stability ve WebAssembly vede k Eulerově síle a zesilovacímu součiniteli II. řádu $1/ (1 - N / N_{cr})$ . To je minimum zmíněné výše; úlohy na této stránce jsou způsob, jak ho na vlastním počítači zvednout.

Nosníky: v lineární statice přesné

Nosníkový prvek používá kubickou interpolaci, což je přesné řešení prizmatického prutu při zatížení na koncích a rovnoměrném zatížení. Tyto úlohy by měly souhlasit až na zaokrouhlení s jedním prvkem na prut a bez zjemnění:

Úloha	Veličina	Analytické řešení
Prostý nosník, rovnoměrné zatížení $w$	Moment uprostřed rozpětí	$w L^{2} /8$
	Průhyb uprostřed rozpětí	$5 w L^{4} /384 E I$
	Posouvající síla u podpory	$w L /2$
Konzola, síla $P$ na konci	Moment ve vetknutí	$P L$
	Průhyb konce	$P L^{3} /3 E I$
Konzola, rovnoměrné zatížení $w$	Moment ve vetknutí	$w L^{2} /2$
	Průhyb konce	$w L^{4} /8 E I$
Oboustranně vetknutý, rovnoměrné zatížení $w$	Podporový moment	$w L^{2} /12$
	Moment uprostřed rozpětí	$w L^{2} /24$
	Průhyb uprostřed rozpětí	$w L^{4} /384 E I$
Jednostranně vetknutý nosník, rovnoměrné zatížení $w$	Moment ve vetknutí	$w L^{2} /8$
	Reakce v kloubové podpoře	$3 w L /8$
Tažený prut, síla $N$	Prodloužení	$N L / E A$
Prostý nosník, osamělá síla $P$ uprostřed rozpětí	Moment uprostřed rozpětí	$P L /4$
	Průhyb uprostřed rozpětí	$P L^{3} /48 E I$

Prostý nosník, rovnoměrné zatížení w. Průhyb je vykreslen dolů, ohybový moment na tažené straně, tvary jsou přesné, ale ne v měřítku.

Příklad: $w = 10 kN/m$ , $L = 10 m$ , IPE 400 ( $I_{y} = 23130 cm^{4}$ ), S355. Prostý nosník:

M δ = \frac{10 \times 1 0 ^{2}}{8} = 125 kNm = \frac{5 \times 10 \times 1 0 ^{4}}{384 \times 210 \times 1 0 ^{6} \times 2.313 \times 1 0 ^{- 4}} = \frac{500 000}{18.65 \times 1 0 ^{6}} = 0.0268 m = 26.8 mm

Osamělá síla uprostřed rozpětí leží v uzlu, pokud je prut v tom místě rozdělen, a výsledek je přesný. Vyzkoušejte obě varianty, rozdělený i nerozdělený prut, a od obou čekejte $P L /4$ až na zaokrouhlení. Pokud nerozdělený prut nesouhlasí, stojí to za nahlášení.

Smyková deformace

Nosník zahrnuje smykovou deformaci přes své smykové plochy. U štíhlého nosníku je účinek malý; u málo štíhlého ne. Při rovnoměrném zatížení přidává smyk k ohybovému průhybu $5 w L^{4} /384 E I$ podíl $9, 6 E I / (G A_{v} L^{2})$ : u IPE 400 je to asi 1,4 % při rozpětí 10 m a asi 34 % při 2 m. To je prvek, který počítá správně. Pro srovnání s čistě ohybovým vzorcem nastavte smykové plochy velmi velké.

Rámy: přesné, a kontrola připojení

Standardní test rámu je kloubově podepřený portálový rám s rovnoměrným zatížením příčle. Pro obdélníkový rám výšky $h$ , rozpětí $L$ , se sloupy $I_{c}$ a příčlí $I_{b}$ při rovnoměrném zatížení příčle $w$ :

k H M_{eaves} M_{mid} = \frac{I _{b} / L}{I _{c} / h} = \frac{w L ^{2}}{4 h ( 2 k + 3 )} = H h = \frac{w L ^{2}}{8} - H h horizontal base reaction

Moment uprostřed rozpětí musí vyjít pod $w L^{2} /8$ a moment v rohu rámu musí být ten rozdíl. Pokud příčel ukáže přesně $w L^{2} /8$ , rohy nejsou spojené – viz První model.

Tento rám staví rychlý start.

Sloupy: stabilita konverguje s dělením

Lineární stabilita používá geometrickou matici tuhosti odvozenou z týchž kubických tvarových funkcí a pro tuto úlohu je kubická funkce jen aproximací. Eulerova síla

P_{cr} = \frac{π ^{2} E I}{L _{cr}^{2}}

s $L_{cr} = L$ pro sloup s kloubovými konci, $2 L$ pro konzolu, $0.5 L$ pro oboustranné vetknutí a $0.7 L$ pro vetknutí a kloub, se reprodukuje s přesností danou počtem prvků:

Prvků na prut	Chyba v $P_{cr}$ , kloubové konce
1	asi +22 % – jeden prvek dává $12 E I / L^{2}$
2	pod 1 %
4	pod 0,1 %

První vzpěrný tvar a vzpěrná délka pro čtyři klasické okrajové podmínky. Hlava oboustranně vetknutého sloupu je zajištěna proti pootočení, ale může se se zatížením posouvat dolů.

Nastavení stability si z tohoto důvodu nese vlastní minimální dělení, takže výchozí výpočet je už na správné straně tabulky. Porovnejte výpočet s minimem nastavení a výpočet s dvojnásobkem; rozdíl by měl ležet uvnitř hodnot výše. Pokud první tvar není ten, který čekáte (první tvar konzoly nemá inflexní bod, první tvar oboustranně vetknutého sloupu má dva), nechte zapnuté ověření úplnosti Sturmovou posloupností a to vám řekne, zda byl některý tvar přeskočen.

Příklad: kloubové konce, $L = 6 m$ , HEA 300 ( $I_{z} = 6310 cm^{4}$ , slabá osa):

P_{cr} = \frac{π ^{2} \times 210 \times 1 0 ^{6} \times 6.31 \times 1 0 ^{- 5}}{6 ^{2}} = 3633 kN

Zadejte jako referenční stav normálovou sílu 1 000 kN a čekejte $α_{cr} \approx 3.63$ .

Vlastní frekvence: konvergují shora

Modální analýza má stejný charakter. S konzistentní maticí hmotnosti konvergují frekvence k přesným hodnotám shora; se soustředěnou maticí zdola.

Konzistentní matice hmotnosti konverguje k přesné frekvenci shora, jde o zaručenou horní mez. Soustředěná obvykle vychází zdola, takže ji obě matice zpravidla uzavřou mezi sebe, tato strana ale zaručená není.

Analytické řešení pro prizmatický nosník je

f_{n} = \frac{λ _{n}^{2}}{2 π} \frac{E I}{m L ^{4}}

kde $m$ je hmotnost na jednotku délky a $λ_{n}$ :

Podepření	$λ_{1}$	$λ_{2}$	$λ_{3}$
Prostý nosník	$π$	$2 π$	$3 π$
Konzola	1,875	4,694	7,855
Oboustranně vetknutý	4,730	7,853	10,996

Příklad: prostý nosník, $L = 8 m$ , IPE 300 ( $I_{y} = 8356 cm^{4}$ , 42,2 kg/m):

f_{1} = \frac{π ^{2}}{2 π} \times \frac{210 \times 1 0 ^{9} \times 8.356 \times 1 0 ^{- 5}}{42.2 \times 8 ^{4}} = 1.571 \times \frac{17.55 \times 1 0 ^{6}}{172 851} = 1.571 \times 10.08 = 15.8 Hz

Čtyři prvky dají první tvar s odchylkou pod zlomek procenta a druhý v řádu několika procent; třetí potřebuje víc. Spočítejte úlohu s konzistentní i soustředěnou hmotou a sledujte, jak obě přesnou hodnotu ohraničují – nejlevnější kontrola frekvence, jaká existuje. Viz Modální analýza.

Desky: konvergují zdola

Výsledek na plošném prvku závisí na síti a testem je konvergence, ne shoda při prvním výpočtu. Klasická úloha je prostě podepřená čtvercová deska o straně $a$ , tloušťce $t$ , při rovnoměrném tlaku $q$ , s

D = \frac{E t ^{3}}{12 ( 1 - ν ^{2} )}

Pro $ν = 0.3$ :

w_{centre} m_{centre} = 0.00406 \frac{q a ^{4}}{D} = 0.0479 q a^{2}

Pro vetknutou čtvercovou desku je uprostřed $w = 0.00126 q a^{4} / D$ a moment uprostřed okraje je $- 0.0513 q a^{2}$ .

Očekávané chování skořepinového prvku:

Síť	Průhyb uprostřed	Moment uprostřed
4 × 4	Odchylka několik procent, nižší	O několik procent nižší
8 × 8	Odchylka asi 1 %	Odchylka 1–2 %
16 × 16	Zkonvergováno	Zkonvergováno

Průhyb konverguje zdola (hrubá síť je tuhá) a moment ho následuje. Dvě zjemnění, která se shodnou do jednoho procenta, jsou argument o konvergenci; výsledek, který se mezi posledními dvěma sítěmi změní o víc, ještě není číslo k citování. Viz Volba velikosti prvku.

Síť založená na posunech je příliš tuhá, takže se výsledky při zjemňování sítě blíží přesné hodnotě zdola. Argumentem pro konvergenci je shoda dvou zjemnění.

Tenká deska, $a / t = 100$ a více, je test, který odhalí smykové zamykání (shear locking) u prvku Reissner–Mindlin založeného na posunech. Skořepinový prvek nezamyká. Deska, která s rostoucí štíhlostí vychází příliš tuhá, je projev zamykajícího prvku a právě na to tento test je.

Stěny: ohyb ve vlastní rovině

Tentýž prvek přenáší i působení stěny v její rovině a slabou membránu odhalí vysoká konzola ohýbaná ve vlastní rovině. Vezměte stěnu délky $L = 6 m$ a výšky $H = 1 m$ , $t = 200 mm$ , $E = 30 GPa$ , $ν = 0, 2$ , vetknutou podél jedné kratší hrany, s posouvající silou $P = 100 kN$ rozdělenou po druhé. Se smykovou deformací ( $κ = 5/6$ ):

δ = \frac{P L ^{3}}{3 E I} + \frac{P L}{κ G A} = 14, 40 + 0, 29 = 14, 69 mm

Jemná síť rovinné napjatosti konverguje k 14,67 mm; rozdíl 0,15 % mezi oběma hodnotami způsobuje vetknutý okraj, který teorie nosníků nevidí. Průhyb v rovině odečtěte na volném konci jako průměr přes jeho uzly.

Síť	Průhyb konce
6 × 1, jeden prvek po výšce	Asi o 1 % méně
Jemnější sítě	Konvergují k 14,67 mm

Prostá čtyřuzlová membrána dosáhne na síti 6 × 1 asi 68 %. Pokud stěna vychází takto tuhá, membrána se zamyká a právě tato úloha to ukáže. Když vnitřní hrany prvků nakloníte, výsledek klesne – při naklonění o 40 % šířky prvku asi na 80 % – protože žádná čtyřuzlová membrána, která splňuje patch test, není na lichoběžníku přesná. Viz Formulace prvků.

Reakce: univerzální kontrola

Křížová kontrola v jiném řešiči

Nad rámec analytických úloh je skutečným testem modelu spočítat ho jinde. V tarifu Pro Elementarium exportuje sešit SAF, který čtou SCIA Engineer, RFEM a další (a také vstupní soubor OOFEM, pokud máte k dispozici OOFEM). Postavte posuny vedle sebe. Shoda dvou nezávislých implementací je důkaz, který skeptický kontrolor přijme.

Když se neshodují

Projděte postupně:

Jednotky – násobek je 1 000 nebo 10⁶. Jednotky.
Podpory – analytické řešení předpokládá určité podepření; model má to, které jste mu dali. Kloub brání jen posunům.
Diskretizace – úlohy stability, modální analýzy a desek konvergují; než cokoli uzavřete, podívejte se do tabulek výše.
Smyková deformace – málo štíhlý nosník je poddajnější, než říká čistý ohyb, a je to správně: u IPE 400 o rozpětí 2 m zhruba o třetinu.
Znaménková konvence – záporná hodnota tam, kde čekáte kladnou, je obvykle směr lokální osy. Znaménkové konvence.

Pokud nic z toho neshodu nevysvětlí, jde o chybu nebo omezení, které stojí za nahlášení. Pošlete projekt a ruční výpočet na [email protected]; během beta verze se dostane přímo k vývojářům řešiče a opraví se buď řešič, nebo tato stránka.

Našli jste na této stránce chybu nebo nejasnost? Napište nám a opravíme to.