Lineární stabilita

Kritické součinitele zatížení a tvary vybočení – co znamená α_cr, proč je to horní mez a jak ho použít pro účinky II. řádu.

Typy analýz 3 min čtení

Lineární stabilita (také lineární výpočet vlastních čísel nebo Eulerova stabilita) řeší

(K + α K_{g}) φ = 0

kde $K_{g}$ je geometrická matice tuhosti sestavená z normálových sil od referenčního zatěžovacího stavu. Vlastní čísla $α$ jsou kritické součinitele zatížení: vynásobíte-li referenční zatížení hodnotou $α_{cr}$ , konstrukce ztratí stabilitu v příslušném tvaru vybočení $φ$ .

$α_{cr}$ patří k jednomu zatěžovacímu stavu a k ničemu jinému. Kombinace, která se rozpadá na několik konkrétních stavů (obálka nebo pravidlo EN 1990, ve kterém je postupně hlavní každé proměnné zatížení), přispívá jedním výpočtem na každou permutaci. Odpovědí obálky je odpověď rozhodující permutace a jediný způsob, jak zjistit, která to je, je všechny spočítat.

Co vám řekne

$α_{cr} = 8$ znamená, že by se působící zatížení muselo zvýšit osmkrát, než by konstrukce v daném tvaru pružně vybočila. Měří rezervu proti ztrátě stability a je přímým vstupem do normových pravidel pro účinky II. řádu.

Pro osamělý sloup první součinitel reprodukuje Eulerovu sílu s vzpěrnou délkou danou uložením konců:

P_{cr} = \frac{π ^{2} E I}{L _{cr}^{2}}

První vzpěrný tvar a vzpěrná délka pro čtyři klasické okrajové podmínky. Hlava oboustranně vetknutého sloupu je zajištěna proti pootočení, ale může se se zatížením posouvat dolů.

Co vám neřekne

Proto normy nedovolují navrhovat podle $α_{cr}$ . Používají ho jako třídicí veličinu; únosnost prutu vychází z křivek vzpěrné pevnosti, které imperfekce a plastizaci už zahrnují – viz Ocelové pruty.

Standardní použití: záleží na chování podle II. řádu?

EN 1993-1-1 zařazuje rám podle kritického součinitele zatížení:

$α_{cr}$	Zařazení	Důsledek
≥ 10	Bez posunu	Účinky II. řádu lze zanedbat
3 až 10	Mírně citlivý na posun	Zesílit účinky posunu, nebo počítat podle II. řádu
< 3	Velmi citlivý na posun	Je nutný řádný výpočet podle teorie II. řádu

Mez závisí na typu výpočtu:

α_{cr} \geq 10 (elastic analysis), α_{cr} \geq 15 (plastic analysis)

Pod mezí norma připouští dvě možnosti: ručně použitá pravidla pro zesílení s předpokladem uvedeným ve statickém výpočtu, nebo výpočet podle teorie II. řádu. Ten v této verzi je a může převzít právě spočítaný tvar vybočení jako imperfekci podle §5.3.2(11).

Spuštění

Nejdřív spočítejte lineární statiku a buďte s ní spokojeni. Geometrická tuhost se sestavuje z jejích normálových sil, takže chybný statický výsledek dává bezcenný výsledek stability.
Zvolte referenční zatěžovací stav nebo kombinaci. Na tom záleží víc než na čemkoli jiném: $α_{cr}$ se vztahuje k tomuto zatížení a tatáž konstrukce dává pro různé kombinace různé součinitele. Použijte kombinaci MSÚ, která maximalizuje tlak.
Zvolte počet tvarů. První tři až pět obvykle stačí, aby byl vidět vzorec.
Nechte zapnuté ověření úplnosti. Je to důkaz Sturmovou posloupností, že vrácené tvary jsou opravdu ty nejnižší. Přeskočený první tvar znamená příliš vysoké $α_{cr}$ , což není jen nepřesné, ale nebezpečné.
Spočítejte a prohlédněte si tvary.

Čtení tvarů

Tvar	Výklad
Celý rám se vychýlí do strany	Globální ztráta stability posunem – ten je určující pro zařazení podle $α_{cr}$
Jeden sloup se vyboulí mezi podlažími	Vzpěr prutu; porovnejte s posudkem samotného prutu
Vychýlí se jedna štíhlá diagonála	Často prut, který má být jen tažený
Lokální zvlnění desky	Boulení; pozor, posudky prutů ho nemusí pokrývat

Velmi nízký první součinitel vázaný na jeden bezvýznamný prut obvykle znamená chybu v modelu, ne skutečný problém se stabilitou: prut téměř bez podepření nebo prvek, který má přenášet jen tah, třeba táhlo ztužidla, modelovaný jako nosník schopný přenést i tlak.

Záporné a velmi velké součinitele

Záporné $α_{cr}$ znamená, že konstrukce ztratí stabilitu při obráceném referenčním zatížení. Obvykle neškodné a lze je ignorovat, pokud obrácení zatížení není reálné.
Velmi velké $α_{cr}$ (stovky) znamená, že stabilita pro dané zatížení prostě není problém – tuhá, ztužená konstrukce.

Do statického výpočtu

Související

Modální analýza řeší podobný problém vlastních čísel s maticí hmotnosti místo geometrické matice tuhosti; teorie II. řádu je to, co spustíte, když $α_{cr}$ ukáže, že třídicí hodnota nestačí; lineární statika vysvětluje, co výchozí výpočet předpokládá.

Našli jste na této stránce chybu nebo nejasnost? Napište nám a opravíme to.