Modální analýza

Vlastní frekvence a vlastní tvary – modelování hmoty, součinitele účinnosti hmoty a k čemu jsou tato čísla dobrá.

Typy analýz 4 min čtení

Modální analýza hledá vlastní frekvence a vlastní tvary konstrukce řešením zobecněného problému vlastních čísel

(K - ω^{2} M) φ = 0

kde $K$ je matice tuhosti, $M$ matice hmotnosti, $ω$ vlastní kruhová frekvence a $φ$ příslušný vlastní tvar. Frekvence a perioda, které se v praxi uvádějí, plynou z $ω$ :

f = \frac{ω}{2 π}, T = \frac{1}{f}

Co potřebuje navíc oproti statice

Hmotu. Statický model může být správný jen s definovanou tuhostí; modální model ne. Hmota se do analýzy dostává přesně ze tří míst a jejich příspěvky se sčítají:

Konstrukce sama – $ρ A$ na prutech a $ρt$ na deskách, odvozeno z materiálů, které už v modelu jsou.
Hmoty, které zadáte – bodová hmota nebo moment setrvačnosti v uzlu, případně hmota rozložená po délce prutu. Sem patří nekonstrukční hmota: opláštění, technologie, nádrž s vodou.
Převedené zatěžovací stavy – skupina hmot, která jmenuje zatěžovací stavy k převodu na hmotu a podíl každého z nich. Sem patří $ψ_{2}$ u užitného zatížení.

Zatížení není hmota. Elementarium nikdy neodvozuje jedno z druhého: síla a hmota, která by ji vyvolala, jsou dvě nezávislá tvrzení a odvozovat jedno z druhého je odhad o gravitaci. Převod v bodě (3) je proto výslovný, aby se o jeho pravidlech dalo diskutovat.

Konzistentní, nebo soustředěná

Matice hmotnosti může být konzistentní (rozložená podle vlastních interpolačních funkcí prvku) nebo soustředěná na diagonálu. Konzistentní matice omezuje skutečné frekvence shora; soustředěná obvykle vychází pod nimi, zaručené to ale není. Výchozí je konzistentní, protože je při stejném počtu stupňů volnosti přesnější. Spočítat obě a porovnat je levná kontrola výsledku, kterým si nejste jisti.

Pruty je nutné dělit

Prut modelovaný jedním prvkem nemá vnitřní uzel, a proto nedokáže vystihnout vlastní tvar, který ho má. Kubické tvarové funkce, díky nimž je nosník v lineární statice přesný, jsou pro matici hmotnosti jen aproximací. Nastavení modální analýzy proto nese vlastní hodnotu Prvků na prut a ta funguje jako spodní mez: zvýší dělení i u prutu, kterému jste sami nastavili hrubší dělení, protože spektrum spočítané na příliš hrubé síti je chybné, aniž by to bylo poznat.

Nastavení

Nejdřív zkontrolujte statický model. Ověřte, že je stabilní a dává rozumné statické výsledky.
Definujte zdroje hmoty a podíl užitného zatížení, který se má zahrnout.
Zvolte počet vlastních tvarů, nebo cílovou hmotu a nechte rozhodnout řešič.
Nechte zapnuté ověření úplnosti. Je to důkaz Sturmovou posloupností, že vrácené tvary jsou opravdu ty nejnižší.
Spočítejte.

Správce analýz se skupinami Lineární statika, Druhý řád, Lineární stabilita a Modální vlevo, vybraná nová Modální analýza 1 a její stránka Nastavení s automatickým spouštěním, 10 tvary, cílovou hmotou 0 % a zahrnutou hmotou konstrukce — Správce analýz při přidávání modální analýzy: vlevo analýzy projektu podle druhu – zde jedna lineární statika s CG, 1e-6 a Jacobim – a vpravo nové nastavení: spouštět automaticky, 10 vlastních tvarů, bez cílové hmoty, s hmotou konstrukce.

Více nastavení modální analýzy v jednom projektu je běžné a podporované – například seismické s hmotou z $G + ψ_{E} Q$ vedle nastavení pro kmitání stropu s jiným podílem užitného zatížení – a každé nastavení si drží vlastní výsledky.

Kolik vlastních tvarů

Tolik, aby zachytily hmotu, na které záleží. Obvyklé kritérium, které pro seismický výpočet používá většina norem, je 90 % účinné hmoty v každém směru. Pro otázku kmitání stropu mohou stačit první dva nebo tři tvary; dynamický výpočet výškové budovy může potřebovat desítky.

Nemusíte iterovat ručně. Nastavte cílovou hmotu – 0,9, což požaduje EN 1998-1 §4.3.3.3 –, určete směry, ve kterých se měří, a zadejte pevný strop počtu tvarů. Řešič pokračuje ve výpočtu, dokud není cíl splněn nebo strop dosažen.

Čtení výstupu

Výstup	Význam
Frekvence $f$ (Hz)	Kmity za sekundu – hodnota, kterou inženýři uvádějí
Perioda $T = 1/ f$ (s)	Hodnota, se kterou pracují seismické normy
Vlastní tvar	Deformovaný tvar; amplituda je libovolná, význam má jen tvar
Účinná hmota	Kolik hmoty se v daném tvaru pohybuje v každém globálním směru
Kumulativní hmota	Průběžný součet – test na 90 %

První tři vlastní tvary prostého nosníku ukazují, co „tvar“ znamená:

První tři vlastní tvary prostého nosníku konstantního průřezu. Frekvence rostou s druhou mocninou λ, takže tvar 3 kmitá devětkrát rychleji než tvar 1. Uzly (nulový pohyb) leží v L/2 u tvaru 2 a v L/3 a 2L/3 u tvaru 3.

Vlastní tvary se vracejí normované na jednotkovou modální hmotu,

φ^{T} M φ = 1,

díky čemuž jsou součinitele účinnosti mezi tvary porovnatelné. Zároveň to znamená, že samotné pořadnice jsou libovolné: stejný tvar těžké a lehké konstrukce se liší o řády, proto prohlížeč každý tvar před vykreslením přeškáluje. Význam má jen poměr amplitud uvnitř jednoho tvaru.

Vlastní tvar se nejlépe čte v pohybu. Výsledky › Animace › Vlastní tvary vybere tvar a přehraje ho, kmitající přes nulu, a Export videa ho nahraje jako smyčku do statického výpočtu nebo pro klienta. Viz Čtení průběhů.

Plošné prvky se čtou stejně. Na desce je vlastní tvar izoplochou přeškálovaného posunu a hodnota, na které záleží, je frekvence vedle něj:

Izoplochy vlastního tvaru desky podepřené čtyřmi sloupy, tvar 3 při 3,028 Hz — Deska na čtyřech sloupech · tvar 3 při 3,028 Hz

Co první vlastní tvary obvykle prozradí

Příznak	Pravděpodobný význam
První tvar u budovy velmi nízko (hluboko pod 1 Hz)	Konstrukce je mnohem poddajnější, než bylo zamýšleno. Než tomu uvěříte, zkontrolujte ztužení a podpory
První tvar je lokální, ne globální	Jeden prut nebo panel kmitá sám. Často jde o chybu modelu, například prut s hmotou, ale téměř bez podepření
Dvě téměř shodné frekvence	Symetrická konstrukce s tvary ve dvou směrech, nebo torzní tvar blízko posuvnému. To druhé je podstatné pro seismické chování

Kmitání stropů

Základní frekvence stropu by měla přesáhnout zhruba 4–5 Hz, u rytmických činností 8 Hz a více. Toto pravidlo je jen orientační třídění, ne posouzení použitelnosti. Řádné posouzení vyžaduje součinitele odezvy a předpoklad o tlumení, které samotná modální analýza nedává. Frekvenci použijte k rozhodnutí, zda takové posouzení potřebujete.

Omezení v této verzi

Frekvence vycházejí z lineárně pružné tuhosti bez trhlin. U betonu jsou skutečné frekvence nižší; normy pro to uvádějí redukce tuhosti.
Tlumení není součástí problému vlastních čísel a nemodeluje se.
Výpočet spektrem odezvy ani časová analýza v této verzi nejsou. Modální výsledek je vstup, který by potřebovaly, ne jejich náhrada.
Nekonstrukční tuhost (opláštění, příčky) se nemodeluje a skutečné frekvence obvykle zvyšuje nad vypočtené.

Související

Lineární stabilita používá blízce příbuzné řešení vlastních čísel a její tvar vybočení lze předat výpočtu podle teorie II. řádu jako imperfekci podle §5.3.2(11). Formulace prvků popisuje, jak je hmota rozložena uvnitř každého prvku.

Našli jste na této stránce chybu nebo nejasnost? Napište nám a opravíme to.