Deformační metoda

Jak řešič konečných prvků převede model na K u = f a zpět – tuhost prvku, transformace, sestavení, vazby, řešení a dopočet výsledků.

Teoretické poznámky 6 min čtení

Každý výsledek v Elementariu vzniká jedním postupem. Tato stránka jím projde jednou, s tolika algebry, kolik stačí ke sledování, ale ne k implementaci, aby vás číslo, které vás překvapí, mělo kam odkázat.

Myšlenka

Konstrukce je množina prvků spojených v uzlech. Každý prvek vzdoruje vzájemnému pohybu svých uzlů silami úměrnými tomuto pohybu (přesně to znamená „lineárně pružný“) a konstantou úměrnosti je matice. Sečtěte příspěvky všech prvků ve všech uzlech a dostanete matici tuhosti konstrukce $K$ , která váže každý uzlový posun $u$ s každou uzlovou silou $f$ :

Ku = f

Známe-li zatížení, vyřešíme posuny. Známe-li posuny, plynou z nich všechny vnitřní síly. Všechno ostatní je účetnictví.

1. Tuhost prvku v lokálních osách

Každý typ prvku má matici tuhosti zapsanou ve vlastních osách, odvozenou z jeho formulace. Pro prut délky $L$ , plochy $A$ a modulu $E$ má rozměr 2 × 2:

k = \frac{E A}{L} [1 - 1 - 1 1]

Přitlačte jeden konec ke druhému o $δ$ a prut se vzepře silou $E A δ / L$ . Matice nosníku má rozměr 12 × 12 (šest stupňů volnosti v každém ze dvou uzlů) a její ohybové členy vycházejí z kubické interpolace, proto je prizmatický nosník s rovnoměrným zatížením přesný bez dělení. Matice skořepinového prvku má rozměr 24 × 24 a integruje se numericky v Gaussových bodech.

Známé nosníkové členy tam najdete. Moment potřebný k pootočení jednoho konce nosníku o $θ$ při vetknutém druhém konci je $4 E I θ / L$ a moment, který tím vznikne na vzdáleném konci, je $2 E I θ / L$ . Jsou-li oba konce drženy proti posunu, souvisí koncová pootočení a momenty vztahem

[M_{1} M_{2}] = \frac{E I}{L} [4224] [θ_{1} θ_{2}]

To jsou hodnoty $4 E I / L$ a $2 E I / L$ z Crossovy metody, což je tatáž metoda počítaná ručně.

2. Transformace do globálních os

Osy prvku míří podél prvku; osy konstrukce ne. Každá matice prvku se natočí do globálního systému transformační maticí $T$ sestavenou ze směrových kosinů prutu:

\overset{ˉ}{k} = T^{T} k T

Tady vstupuje do hry konvence lokálních os: prut nakreslený z A do B a prut nakreslený z B do A mají různé $T$ , vypisují vnitřní síly s opačnými znaménky a do $K$ přispívají stejně.

3. Sestavení

Každá globální matice prvku se přičte do $K$ na řádky a sloupce, které patří stupňům volnosti jeho uzlů:

K = e \sum A_{e}^{T} \overset{ˉ}{k}_{e} A_{e}

kde $A_{e}$ jen vybírá stupně volnosti prvku $e$ z globálního seznamu. Uzel sdílený třemi pruty dostane tři příspěvky do týchž řádků. Přesně to znamená „spojený“ v numerickém smyslu, a proto dva pruty, jejichž konce jsou 3 mm od sebe, spojené nejsou: nemají žádný společný řádek.

Sestavení pro portálový rám. Každý prut přičte svou tuhost do čtyř uzlových bloků, které propojuje; kde se v uzlu stýkají dva pruty, jejich příspěvky se na diagonále sčítají. Dvojice uzlů, které žádný prut nespojuje, zůstávají nulové, a právě tuto řídkost řešič využívá. Řádky a sloupce vetknutých patek se před řešením odstraní.

$K$ je řídká: uzel je vázán jen s uzly, s nimiž sdílí prvek, takže téměř všechny prvky matice jsou nulové. Je také symetrická, podle Maxwellovy věty o vzájemnosti. Řešiče využívají obojí; viz Volba lineárního řešiče.

Zatížení se do $f$ sestavuje stejně. Uzlová síla jde rovnou dovnitř. Spojité zatížení na prutu se převede na ekvivalentní uzlové síly: pro rovnoměrné $w$ na nosníku $w L /2$ na každém konci a momenty dokonalého vetknutí $w L^{2} /12$ . Zpracování koncových sil prvku to později opraví, takže průběh momentu podél prutu je přesný.

4. Vazby

Podpory odebírají stupně volnosti. Podepřený stupeň volnosti má předepsaný posun (nulový, nebo poklesnutí), takže jeho řádek a sloupec ze soustavy odejdou a jeho reakce se poté dopočte z rovnováhy tohoto řádku. Rozdělíme-li stupně volnosti na volné ( $f$ ) a podepřené ( $s$ ):

[K_{f f} K_{s f} K_{f s} K_{ss}] [u_{f} u_{s}] = [f_{f} f_{s} + r]

Řeší se jen horní řádek, s předepsaným $u_{s}$ převedeným na pravou stranu; reakce $r$ se poté dopočtou ze spodního řádku:

K_{f f} u_{f} r = f_{f} - K_{f s} u_{s} = K_{s f} u_{f} + K_{ss} u_{s} - f_{s}

Pružina stupeň volnosti neodebírá; přičte svou tuhost na diagonálu.

Uvolnění (klouby) upravují prvek ještě před sestavením. Úplné uvolnění odpojí daný stupeň volnosti od uzlu, takže prut přes tento konec nepřenáší žádný moment; částečné uvolnění vloží mezi oba konečnou tuhost, což je polotuhý přípoj.

Tuhá ramena jsou vazby, které svazují stupně volnosti jednoho uzlu se stupni volnosti druhého kinematickým vztahem uplatněným při sestavení, ne jako velmi tuhý prvek. Proto nekazí podmíněnost matice tak, jak to dělá tuhý prvek.

Po tomto kroku je $K$ singulární právě tehdy, když se konstrukce může pohybovat bez odporu: je mechanismem. Elementarium to kontroluje před řešením a volný pohyb pojmenuje.

5. Řešení

Soustava $Ku = f$ se řeší jednou pro každý stav zatížení. S přímým řešičem se $K$ rozloží na $L L^{T}$ nebo $LD L^{T}$ a každý zatěžovací stav nebo kombinace je pak levný zpětný chod nad těmito faktory. Proto padesát kombinací stojí jen o málo víc než jedna. S iteračním řešičem se soustava konverguje zvlášť pro každou pravou stranu. Viz Volba lineárního řešiče.

Výsledkem je $u$ : všechny posuny a pootočení ve všech uzlech pro daný stav zatížení.

6. Dopočet výsledků

Vnitřní síly plynou z posunů, prvek po prvku: uzlové posuny prvku se transformují zpět do jeho lokálních os, vynásobí lokální maticí tuhosti a přičtou se síly dokonalého vetknutí $f_{0}$ od zatížení po jeho délce:

f_{e} = k T u_{e} + f_{0}

Pro nosník to dává $N$ , $V$ , $T$ a $M$ na koncích. Mezi konci plynou z rovnováhy z koncových sil a zatížení prutu, proto je moment od rovnoměrného zatížení parabolický, přestože tvarová funkce je kubická. Pro skořepinu se měrné vnitřní síly vyhodnotí v Gaussových bodech a do rohů se přenesou metodou dopočtu, kterou zvolí nastavení výpočtu.

Reakce jsou síly v podepřených stupních volnosti a jejich součet se musí rovnat působícímu zatížení: to je kontrola popsaná v článku Váš první výpočet.

Kde se ostatní výpočty odchylují

Výpočet	Co se mění
Modální analýza	Stejným způsobem se sestaví matice hmotnosti $M$ ; $(K - ω^{2} M) ϕ = 0$ je problém vlastních čísel, ne lineární soustava
Lineární stabilita	Z osových sil statického řešení se sestaví geometrická matice tuhosti $K_{g}$ ; $(K + α K_{g}) ϕ = 0$
Teorie II. řádu	$K_{g} (u)$ závisí na výsledku, takže se kroky 5 a 6 opakují, dokud se $u$ nepřestane měnit

Všechny tři sestavují svou dodatečnou matici z týchž prvků, s toutéž transformací a toutéž konektivitou. Proto se chyba modelování v kroku 3, prut, který se nespojuje, projeví ve všech typech výpočtu najednou.

Co metoda předpokládá

Linearita. $K$ nezávisí na $u$ ; materiál zůstává pružný a geometrie zůstává tam, kde byla nakreslena. Výjimkou jsou tři řádky tabulky výše.
Malé posuny. Rovnováha se píše na nedeformovaném tvaru, s výjimkou teorie II. řádu.
Kompatibilita jen v uzlech. Prvky jsou spojeny ve svých uzlech a nikde jinde. Dvě plochy, které se překrývají bez společných uzlů, procházejí jedna druhou.
Bázové funkce prvku. Nosník je přesný; skořepina je aproximace, která konverguje se zjemňováním. Důsledkem je síťování.

Je to metoda, kterou učí každý kurz stavební mechaniky a kterou implementuje každý program na konečné prvky.

Našli jste na této stránce chybu nebo nejasnost? Napište nám a opravíme to.